Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足$\frac{3sinA}{3cosA-2}$=-tanB，点E，F分别是AC，AB的中点，则$\frac{BE}{CF}$的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，1）
• B． （$\frac{1}{4}$，$\frac{7}{8}$）
• C． （$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{8}$）

Answer 1

分析 设AB=c，AC=b，BC=a，由商的关系、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知的等式，由正弦定理将角的关系转化为边的关系，由中线长定理求出BE和CF，代入$\frac{BE}{CF}$利用分离常数法化简后，由三角形三边关系求出变量的范围，由表达式的特点求出$\frac{BE}{CF}$的取值范围．

解答 解：设AB=c，AC=b，BC=a，
由题意得，$\frac{3sinA}{3cosA-2}$=-tanB，
则$\frac{3sinA}{3cosA-2}$=-$\frac{sinB}{cosB}$，即3sinAcosB=-3cosAsinB+2sinB，
∴3sin（A+B）=2sinB，
由A+B=π-C得，sin（A+B）=sinC，即3sinC=2sinB，
由正弦定理得，3c=2b，即b=$\frac{3}{2}$c，
∵点E，F分别是AC，AB的中点，
∴由中线长定理得，BE=$\frac{1}{2}\sqrt{2（{a}^{2}+{c}^{2}）-{b}^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{2{a}^{2}-\frac{1}{4}{c}^{2}}$，
CF=$\frac{1}{2}\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）-{c}^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{2{a}^{2}+\frac{7}{2}{c}^{2}}$，
∴$\frac{BE}{CF}$=$\sqrt{\frac{2{a}^{2}-\frac{1}{4}{c}^{2}}{2{a}^{2}+\frac{7}{2}{c}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2-\frac{1}{4}{（\frac{c}{a}）}^{2}}{2+\frac{7}{2}{（\frac{c}{a}）}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{\frac{15}{4}{（\frac{c}{a}）}^{2}}{2+\frac{7}{2}{（\frac{c}{a}）}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{\frac{15}{4}}{2{（\frac{a}{c}）}^{2}+\frac{7}{2}}}$，
∵a＜b+c且a+c＞b，∴$\frac{1}{2}$c＜a＜$\frac{5}{2}$c，则$\frac{1}{2}＜\frac{a}{c}＜\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{4}＜（\frac{a}{c}）^{2}＜\frac{25}{4}$，∴$4＜{2（\frac{a}{c}）}^{2}+\frac{7}{2}＜16$，
则$\frac{1}{4}＜\sqrt{1-\frac{\frac{15}{4}}{2{（\frac{a}{c}）}^{2}+\frac{7}{2}}}＜\frac{7}{8}$，
则$\frac{BE}{CF}$的取值范围是$（\frac{1}{4}，\frac{7}{8}）$，
故选B．

点评 本题考查了商的关系、两角和的正弦公式、诱导公式，正弦定理、中线长定理，以及三角形三边大小关系，考查了推理能力、化简、计算能力，属于中档题．