Question

12．已知函数y=f（x-1）的图象关于x=1对称，y=f′（x）是y=f（x）的导数，且当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，已知a=f（log₅2）log₃2，b=f（log₅2）log₅2，c=f（2），则a，b，c的大小关系是（　　）

• A． a＞b＞c
• B． b＞a＞c
• C． c＞a＞b
• D． a＞c＞b

Answer 1

分析 利用函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，可得函数y=f（x）的图象关于y轴对称，是偶函数．令g（x）=xf（x），利用已知当x∈（-∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，可得函数g（x）在x∈（-∞，0）单调递减，进而得到函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．再根据log₂2=1＞log₃2＞log₅2＞0．即可得到a，b，c的大小．

解答 解：∵函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，
∴函数y=f（x）的图象关于y轴对称，是偶函数．
令g（x）=xf（x），则g（x）为奇函数，
则当x∈（-∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
∴函数g（x）在x∈（-∞，0）单调递减，
因此函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∵log₂2=1＞log₃2＞log₅2＞0．
∴g（2）＜g（log₃2）＜g（log₅2），
即2f（2）＜f（log₃2）log₃2＜f（log₅2）log₅2，
而f（2）＜2f（2），f（log₅2）log₅2＜f（log₅2）log₃2，
∴c＜b＜a．
故选：A．

点评 熟练掌握轴对称、奇偶函数的性质、利用导数研究函数的单调性、对数的运算性质等是解题的关键．