Question

【题目】已知球内接四棱锥P﹣ABCD的高为3，AC，BC相交于O，球的表面积为 ，若E为PC中点．
（1）求证：OE∥平面PAD；
（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：由O，E分别是CA，CP的中点，得OE∥AP，

且满足OE平面PAD，AP平面PAD，所以OE∥平面PAD．

（2）解：由球的表面积公式S=4πR2，得球的半径 ，

设球心为O1，在正四棱锥P﹣ABCD中，高为PO，则O1必在PO上，

连AO1，则 ，

则在Rt△O1OA，则 ，即OA=2，

在正四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD于O，且AC⊥BD于O，

设OA，OB，OP为x，y，z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz系，

得P（0，0，3），A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），D（0，﹣2，0），PC中点 ，

所以 ，

设 分别是平面ABE和平面CBE的法向量，

则 和 ，

可得 ，则 ，

由图可知，二面角A﹣BE﹣C的大小为钝角，

所以二面角A﹣BE﹣C的余弦值为 ．

【解析】（1）由O，E分别是CA，CP的中点，得OE∥AP，即可得OE∥平面PAD．（2）由球的表面积公式S=4πR2，得球的半径 ，设球心为O1，在正四棱锥P﹣ABCD中，高为PO，则O1必在PO上，连AO1，在Rt△O1OA，可得OA=2，设OA，OB，OP为x，y，z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz系，得P（0，0，3），A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），D（0，﹣2，0），PC中点 ，利用向量法求解．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．