【题目】已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,点A到x轴的距离等于|AF|﹣1.
(1)求抛物线C的方程;
(2)直线AF与C交于另一点B,抛物线C分别在点A,B处的切线交于点P,D为y轴正半轴上一点,直线AD与C交于另一点E,且有|FA|=|FD|,N是线段AE的靠近点A的四等分点.
(i)证明点P在△NAB的外接圆上;
(ii)△NAB的外接圆周长是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:过A作AM⊥x轴,垂足为M,设抛物线的准线方程为:y=﹣ ,
∴AF=AM+ ,
∴ =1,即p=2.
∴抛物线C的方程为:x2=4y.
(2)解:(i)设A(x1, ),B(x2,
),
∵A,B,F(0,1)三点共线,∴ ,∴x1x2=﹣4,
由x2=4y得y= ,
∴切线AP的方程为:y﹣ =
(x﹣x1),
切线BP的方程为:y﹣ =
(x﹣x2),
联立方程组可得P( ﹣
,﹣1),
∴ =(
,
+1),
=(﹣
﹣
,
+1),
∴ =(
)(﹣
﹣
)+(
+1)(
+1)=0,
∴∠BPA=90°.
∵|FD|=|FA|= +1,∴D(0,
+2),
设E(x3, ),由A,D,E三点共线得:
,
∴x3=﹣x1﹣ ,
∵N是AE的靠近A的四等分点,
∴N(﹣ +
,
+1),
∴ =(
+
,﹣
﹣1),
=(﹣
﹣
,﹣
﹣1).
∴ =(
+
)(﹣
﹣
)+(﹣
﹣1)(﹣
﹣1)=0,
∴∠BNA=90°,
∴A,B,P,N四点共圆,
∴P在△ABN的外接圆上.
(ii)由(i)可知|AB|为△ABN的外接圆直径.
∵|AB|= +2=
≥2|
||
|+2=4.
当且仅当| |=|
|即x1=±1时,取等号.
∴当x1=1或﹣1时,△ABN的外接圆周长最小,最小周长为4π.
【解析】(1)利用抛物线的性质可知 =1,从而得出抛物线方程;(2)(i)设A(x1,
),B(x2,
),E(x3,
),由三点共线可得x2,x3与x1的关系,求出P,N的坐标,利用向量证明AP⊥BP,AN⊥BN,从而可得A,B,P,N四点共圆;
(ii)利用基本不等式求出外接圆的直径|AB|的最小值即可得出周长的最小值.
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【题目】已知球内接四棱锥P﹣ABCD的高为3,AC,BC相交于O,球的表面积为 ,若E为PC中点.
(1)求证:OE∥平面PAD;
(2)求二面角A﹣BE﹣C的余弦值.
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【题目】已知椭圆 的右焦点为F(2,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且△MOF是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1 , k2 , 且k1+k2=8,证明:直线AB过定点( ).
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (θ为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)写出曲线C的极坐标方程;
(2)设点M的极坐标为( ),过点M的直线l与曲线C相交于A,B两点,若|MA|=2|MB|,求AB的弦长.
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【题目】已知函数f(x)=2sinx( ).
(1)求函数f(x)在( )上的值域;
(2)在△ABC中,f(C)=0,且sinB=sinAsinC,求tanA的值.
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【题目】某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习,恰逢该公司要通过海运出口一批货物,王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜,保险公司提供了缴纳保险费的两种方案:
①一次性缴纳50万元,可享受9折优惠;
②按照航行天数交纳:第一天缴纳0.5元,从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍,共需交纳20天.
请通过计算,帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低.
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【题目】考拉兹猜想又名3n+1猜想,是指对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1;如果它是偶数,则对它除以2.如此循环,最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,输出的结果i=( )
A.4
B.5
C.6
D.7
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【题目】如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处,设集合Ω={P1 , P2 , P3 , P4},点P∈Ω,过P作直线lP , 使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧.用D1(lP)和D2(lP)分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP的距离之和.若过P的直线lP中有且只有一条满足D1(lP)=D2(lP),则Ω中所有这样的P为 .
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD.中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2.E是PB的中点. (Ⅰ)求证;平面EAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为 ,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
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