【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD.中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2.E是PB的中点. (Ⅰ)求证;平面EAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为 ,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
【答案】解:(I)证明:∵PC⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴AC⊥PC,
∵AB=2,AD=CD=2,∴AC=BC= ,
∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,
又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC,
∵AC平面EAC,∴平面EAC⊥平面PBC.
( II)解:如图,以C为原点, 、
、
分别为x轴、y轴、z轴正向,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,﹣1,0).
设P(0,0,a)(a>0),则E( ,﹣
,
),
=(1,1,0),
=(0,0,a),
=(
,﹣
,
),
取 =(1,﹣1,0),则
=
=0,
为面PAC的法向量.
设 =(x,y,z)为面EAC的法向量,则
=
=0,
即 取x=a,y=﹣a,z=﹣2,则
=(a,﹣a,﹣2),
依题意,|cos< ,
>|=
=
=
,则a=1.
于是 =(1,﹣1,﹣2),
=(1,1,﹣1).
设直线PA与平面EAC所成角为θ,
则sinθ=|cos< ,
>|=
=
=
,
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 .
【解析】(I)通过证明AC⊥平面PBC,利用平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面PBC.( II)如图,以C为原点, 、
、
分别为x轴、y轴、z轴正向,建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,设P(0,0,a)(a>0),求出面PAC的法向量
=(1,﹣1,0),设
=(x,y,z)为面EAC的法向量,利用
=
=0,求出
=(a,﹣a,﹣2),利用向量的数量积求解,即可得到直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
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【题目】已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,点A到x轴的距离等于|AF|﹣1.
(1)求抛物线C的方程;
(2)直线AF与C交于另一点B,抛物线C分别在点A,B处的切线交于点P,D为y轴正半轴上一点,直线AD与C交于另一点E,且有|FA|=|FD|,N是线段AE的靠近点A的四等分点.
(i)证明点P在△NAB的外接圆上;
(ii)△NAB的外接圆周长是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】以坐标原点 为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线 的参数方程;
(2)在曲线 上任取一点
,求的
最大值.
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【题目】已知函数 .
(1)若曲线 在
处的切线方程为
,求
的极值;
(2)若 ,是否存在
,使
的极值大于零?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中|φ|< )的图象如图所示,为了得到y=sinωx的图象,只需把y=f(x)的图象上所有点( )
A.向左平移 个单位长度
B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度
D.向右平移 个单位长度
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【题目】若曲线f(x)= (e﹣1<x<e2﹣1)和g(x)=﹣x3+x2(x<0)上分别存在点A、B,使得△OAB是以原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在y轴上,则实数a的取值范围是( )
A.(e,e2)
B.(e, )
C.(1,e2)
D.[1,e)
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【题目】设函数f(x)=e2x , g(x)=kx+1(k∈R). (Ⅰ)若直线y=g(x)和函数y=f(x)的图象相切,求k的值;
(Ⅱ)当k>0时,若存在正实数m,使对任意x∈(0,m),都有|f(x)﹣g(x)|>2x恒成立,求k的取值范围.
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【题目】下列说法正确的是( )
①原命题为真,它的否命题为假;
②原命题为真,它的逆命题不一定为真;
③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;
④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真.
A. ①② B. ②③
C. ③④ D. ②③④
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【题目】已知椭圆 的离心率为
,短轴长为2. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若圆O:x2+y2=1的切线l与曲线E相交于A、B两点,线段AB的中点为M,求|OM|的最大值.
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