Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD．中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点． （Ⅰ）求证；平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为 ，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（I）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PC，

∵AB=2，AD=CD=2，∴AC=BC= ，

∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，

又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，

∵AC平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．

（ II）解：如图，以C为原点， 、 、 分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．

设P（0，0，a）（a＞0），则E（ ，﹣ ， ），

=（1，1，0）， =（0，0，a），

=（ ，﹣ ， ），

取 =（1，﹣1，0），则

= =0， 为面PAC的法向量．

设 =（x，y，z）为面EAC的法向量，则 = =0，

即 取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则 =（a，﹣a，﹣2），

依题意，|cos＜ ， ＞|= = = ，则a=1．

于是 =（1，﹣1，﹣2）， =（1，1，﹣1）．

设直线PA与平面EAC所成角为θ，

则sinθ=|cos＜ ， ＞|= = = ，

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 ．

【解析】（I）通过证明AC⊥平面PBC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面PBC．（ II）如图，以C为原点， 、 、 分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设P（0，0，a）（a＞0），求出面PAC的法向量 =（1，﹣1，0），设 =（x，y，z）为面EAC的法向量，利用 = =0，求出 =（a，﹣a，﹣2），利用向量的数量积求解，即可得到直线PA与平面EAC所成角的正弦值．