【题目】若曲线f(x)= (e﹣1<x<e2﹣1)和g(x)=﹣x3+x2(x<0)上分别存在点A、B,使得△OAB是以原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在y轴上,则实数a的取值范围是( )
A.(e,e2)
B.(e, )
C.(1,e2)
D.[1,e)
【答案】B
【解析】解:设A(x1,y1),y1=f(x1)= ,B(x2,y2),y2=g(x2)=﹣x23+x22(x<0),
则 =0,x2=﹣x1,∴
.
,
,
由题意, ,即
=0,
∴ ,
∵e﹣1<x1<e2﹣1,
∴ ,
则 .
设h(x)= ,则h′(x)=
,
∵e﹣1<x<e2﹣1,
∴h′(x)>0,
即函数h(x)= 在(e﹣1<x<e2﹣1)上为增函数,
则 ,
即e<a< .
∴实数a的取值范围是(e, ).
故选:B.
【考点精析】认真审题,首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减).
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【题目】某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习,恰逢该公司要通过海运出口一批货物,王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜,保险公司提供了缴纳保险费的两种方案:
①一次性缴纳50万元,可享受9折优惠;
②按照航行天数交纳:第一天缴纳0.5元,从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍,共需交纳20天.
请通过计算,帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低.
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【题目】如图,在四棱锥 中,已知
,
,
底面
,且
,
,
为
的中点,
在
上,且
.
(1)求证:平面 平面
;
(2)求证: 平面
;
(3)求三棱锥 的体积.
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【题目】2017年10月18日至24日,中国共产党第十九次全国人民代表大会在北京顺利召开.大会期间,北京某高中举办了一次“喜迎十九大”的读书读报知识竞赛,参赛选手为从高一年级和高二年级随机抽取的各100名学生.图1和图2分别是高一年级和高二年级参赛选手成绩的频率分布直方图.
(1)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩;
(2)完成下面2×2列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下,认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异.
附:
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD.中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2.E是PB的中点. (Ⅰ)求证;平面EAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为 ,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC= ,点E在AD上,且AE=2ED.
(Ⅰ)已知点F在BC上,且CF=2FB,求证:平面PEF⊥平面PAC;
(Ⅱ)当二面角A﹣PB﹣E的余弦值为多少时,直线PC与平面PAB所成的角为45°?
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【题目】已知MOD函数是一个求余函数,记MOD(m,n)表示m除以n的余数,例如MOD(8,3)=2.如图是某个算法的程序框图,若输入m的值为48时,则输出i的值为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
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