Question

【题目】如图，在△ABC中， ，角A的平分线AD交BC于点D，设∠BAD=α， ．
（Ⅰ）求sinC；
（Ⅱ）若 ，求AC的长．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵α∈（0， ），sinα ，

∴cosα= = ，

∴sin∠BAC=sin2α=2sinαcosα=2× × = ，

cos∠BAC=cos2α=2cos2α﹣1=2× ﹣1= ，

∴sinC=sin[π﹣（ +2α）]=sin（ +2α）= （cos2α+sin2α）= ×（ + ）= ；

（Ⅱ）由正弦定理，得 = ，

即 = ，

∴AB= BC，

又 =28，

∴AB×BC× =28，

由上两式解得：BC=4 ，

由 = ，

得： = ，

∴AC=5．

【解析】（Ⅰ）由α为三角形BAD中的角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin∠BAC与cos∠BAC的值，即为sin2α与cos2α的值，sinC变形为sin[π﹣（ +2α）]，利用诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出sinC的值； （Ⅱ）利用正弦定理列出关系式，将sinC与sin∠BAC的值代入得出AB= BC，利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式左边，将表示出的AB代入求出BC的长，再利用正弦定理即可求出AC的长．
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义的相关知识点，需要掌握正弦定理:才能正确解答此题．