Question

【题目】已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为2． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若圆O：x2+y2=1的切线l与曲线E相交于A、B两点，线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（ I）由题意得 ，解得a=2，b=1．

∴椭圆C的标准方程 ．

（ II）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），

若直线l的斜率为0，则l方程为y=±1，此时直线l与椭圆只有1个交点，不符合题意；

设直线l：x=my+t．

∵l与圆O相切，∴ ，即t2=m2+1；

联立方程组 ，消去x，得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4=0，

则△=4m2t2﹣4（t2﹣4）（m2+4）=16（m2﹣t2+4）=48＞0，

∴ ，∴ ， ，即 ，

∴ ，

设x=m2+4，则x≥4， ，

∴当x=8时等号成立，|OM|取得最大值 =

【解析】（I）根据条件列方程组解出a，b即可得出椭圆的方程；（II）设直线l方程为x=my+t，联立方程组消元，利用根与系数的关系求出M的坐标，根据距离公式求出|OM|的最值．