Question

【题目】如图1，四边形ABCD是菱形，且∠A=60°，AB=2，E为AB的中点，将四边形EBCD沿DE折起至EDC1B1 ， 如图2．
（Ⅰ） 求证：平面ADE⊥平面AEB1；
（Ⅱ） 若二面角A﹣DE﹣C1的大小为 ，求三棱锥C1﹣AB1D的体积．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵图1，四边形ABCD是菱形，且∠A=60°，E为AB的中点，

∴DE⊥AB，

∵将四边形EBCD沿DE折起至EDC1B1，如图2，

∴DE⊥AE，DE⊥B1E，

又AE∩B1E=E，∴DE⊥平面AEB1，

∵DE平面ADE，∴平面ADE⊥平面AEB1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE⊥AE，DE⊥B1E，∴∠AEB1 为二面角A﹣DE﹣C1的平面角为 ，又∵AE=EB1=1，∴△AEB1 为正三角形，则AB1=1．

在RtDEB1 中，由 ，可得B1D=2，

∴△ADB1是等腰三角形，底边AB1 上的高等于 ．

则 ．

设E到平面ADB1的距离为h，则由等积法得： ，

得h= ．

∵C1D∥B1E，且C1D=2B1E，

∴C1 到平面ADB1 的距离为 ．

则 ．

【解析】（Ⅰ）由原图形中的DE⊥AB，可得折起后DE⊥AE，DE⊥B1E，再由线面垂直的判定可得DE⊥平面AEB1，进一步得到平面ADE⊥平面AEB1；（Ⅱ）通过解三角形求出三角形ADB1 的面积，利用等积法求得E到平面ADB1 的距离，再由比例关系求得C1到平面ADB1 的距离，则三棱锥C1﹣AB1D的体积可求．
【考点精析】关于本题考查的平面与平面垂直的判定，需要了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．