Question

【题目】在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=8，圆C的参数方程是 （φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）射线OM：θ=α（其中 ）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON： 与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求 的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵直线l的方程是y=8，∴直线l的极坐标方程是ρsinθ=8．

∵圆C的参数方程是 （φ为参数），

∴圆C的普通方程分别是x2+（y﹣2）2=4，

即x2+y2﹣4y=0，

∴圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ．

（Ⅱ）依题意得，点P，M的极坐标分别为 和 ，

∴|OP|=4sinα，|OM|= ，

从而 = = ．

同理， = ．

∴ = = ，

故当 时， 的值最大，该最大值是

【解析】（Ⅰ）由直线的直角坐标方程能求出直线l的极坐标方程，由圆C的参数方程，能求出圆C的普通方程，从而能求出圆C的极坐标方程．（Ⅱ）求出点P，M的极坐标，从而 = ， = ，由此能求出 的最大值是 ．