Question

已知函数f（x）=e^x-ex．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）对于函数，是否存在公共切线y=kx+b（常数k，b）使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b在函数h（x），g（x）各自定义域上恒成立？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f'（x）=e^x-e 令f'（x）=e^x-e=0 得x=1
当x＞1 时，f'（x）＞0，当x＜1 时，f'（x）＜0．
所以函数f（x） 在（-∞，1）上递增所以f（x） 的最小值为f（1）=0 （3分）
（Ⅱ） 证明：由（1）知f（x） 在x=1 取得最小值，
所以f（x）≥f（1），即e^x≥ex 当x＞0 时由e^x≥ex 得x≥1+lnx，x-1≥lnx，
当且仅当x=1 时等号成立．
令 得 …
将上式相加得 …8分
（Ⅲ） 设 则
所以当 时F'（x）＜0，
当 时，F'（x）＞0
所以当 时F（x） 取得最小值0．
则h（x） 与g（x） 的图象在 处有公共点 由 在x∈R 恒成立，
则 在x∈R 恒成立
所以
因此
下面证明 成立设

所以当0＜x0，
当 时，G'（x）＜0
因此，，
故所求公共切线为 （14分）
分析：（Ⅰ） 要求函数的最小值，需要求出导函数并令其等于零得到x=1，然后分区间x＜1和x＞1，讨论函数的增减性来判断函数的极值，得到函数的最小值即可．
（Ⅱ）由（1）知f（x） 在x=1 取得最小值，从而由e^x≥ex，当x＞0 时x-1≥lnx，进而可知，令 得，故可得证；
（Ⅲ）设，原问题转化为研究此函数的单调性问题，利用导数知识解决．
点评：本题考查了对数函数的导数运算，研究函数的最值问题．考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．