Question

在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）经过点A（

6

2

，

2

），且点F（0，-1）为其一个焦点．   
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E与y轴的两个交点为A₁，A₂，不在y轴上的动点P在直线y=b²上运动，直线PA₁，PA₂分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线MN通过一个定点，且△FMN的周长为定值．

Answer 1

（Ⅰ）根据题意可得

3 2a2 + 2 b2 =1 b2-a2=1

可解得

a= 3 b=2

∴椭圆E的方程为

x2

3

+

y2

4

=1…（4分）
（Ⅱ）不妨设A₁（0，2），A₂（0，-2）
P（x₀，4）为直线y=4上一点（x₀≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直线PA₁方程为y=

2

x0

x+2，直线PA₂方程为y=

6

x0

x-2
点M（x₁，y₁），A₁（0，2）的坐标满足方程组

x2 3 + y2 4 =1 y= 2 x0 x+2

可得

x1= -6x0 3+x0 y1= 2x 20 -6 3+x0

点N（x₂，y₂），A₂（0，-2）的坐标满足方程组

x2 3 + y2 4 =1 y= 6 x0 x-2

    可得

x2= 18x0 27+ x 20 y2= -2 x 20 +54 27+ x 20

由于椭圆关于y轴对称，当动点P在直线y=4上运动时，直线MN通过的定点必在y轴上，
当x₀=1时，直线MN的方程为y+1=

4

3

(x+

3

2

)，令x=0，得y=1可猜测定点的坐标为（0，1），并记这个定点为B
则直线BM的斜率k_BM=

y1-1

x1

=

2 x 20 -6 3+ x 20 -1

-6x0 3+ x 20

=

9- x 20

6x0

直线BN的斜率k_BN=

y2-1

x2

=

-2 x 20 +54 27+ x 20 -1

18x0 27+ x 20

=

9- x 20

6x0

∴k_BM=k_BN，即M，B，N三点共线，故直线MN通过一个定点B（0，1），
又∵F（0，-1），B（0，1）是椭圆E的焦点，
∴△FMN周长=|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8．