Question

已知函数f（x）=x³-ax²+3x，a∈R．
（1）若函数f（x）是R上的单调递增函数，求实数的a的取值范围；
（2）若x=3是f（x）的一个极值点，求f（x）在R上的极大值与极小值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x³-ax²+3x为在R上的单调增函数，知f′（x）=3x²-2ax+3x≥0对于x∈R恒成立，由此能求出实数的a的取值范围．
（2）f′（x）=3x²-2ax+3，当x=3时有极值，所以f′（3）=0，解得a=5．由此能求出f（x）在R上的极大值与极小值．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-ax²+3x为在R上的单调增函数，
则f′（x）=3x²-2ax+3x≥0对于x∈R恒成立，
所以△=4a²-4×9≤0，解得-3≤a≤3．
（2）f′（x）=3x²-2ax+3，
∵当x=3时有极值，所以f′（3）=0，即27+3-2a×3=0，
解得a=5．
这时，f′（x）=3x²-10x+3，
令f′（x）=3x²-10x+3=0，得x1=

1

3

，或x₂=3．
当x变化时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

由表可知：f（x）的极大值为f（

1

3

）=(

1

3

)3-5×(

1

3

)2+3×

1

3

=

13

27

，
f（x）的极小值为f（3）=3³-5×3²+3×3=-9．

点评：本题考查实数的取值范围，考查函数的极大值和极小值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．