Question

14．如图，三棱锥A-BCD中，△BCD为等边三角形，AC=AD，E为CD的中点；
（1）求证：CD⊥平面ABE；
（2）设AB=3，CD=2，若AE⊥BC，求三棱锥A-BCD的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出BE⊥CD，AE⊥CD，由此能证明CD⊥平面ABE．
（2）推导出AE⊥平面BCD，由此能求出三棱锥A-BCD的体积．

解答 证明：（1）∵三棱锥A-BCD中，△BCD为等边三角形，
AC=AD，E为CD的中点，
∴BE⊥CD，AE⊥CD，
又AE∩BE=E，∴CD⊥平面ABE．
解：（2）由（1）知AE⊥CD，
又AE⊥BC，BC∩CD=C，
∴AE⊥平面BCD，
∵AB=3，CD=2，
∴三棱锥A-BCD的体积：
$V=\frac{1}{3}×{S}_{△BCD}×AE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{6}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．