Question

【题目】如图，在梯形中， ， ，四边形为矩形，且平面， .

（1）求证： 平面；

（2）点在线段（含端点）上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

（1）由， 可得.由可得.从而平面

（2）分别以直线， ， 为轴， 轴， 轴的如图所示建立空间直角坐标系，令 (). 平面的一个法向量=(1, , ), =(1,0,0)是平面的一个法向量. ∵,∴当时， 有最小值.

试题解析： (I)在梯形中，∵，设，

又∵,∴，∴

∴∴.

∵， ，

∴，而，

∴

∵ ∴.

(II)由(I)可建立分别以直线， ， 为轴， 轴， 轴的如图所示建立空间直角坐标系，

设，令 (),则 (0，0，0)， (，0，0)， (0，1，0)， (，0，1)，

∴=(-，1，0)， =( ，-1，1)，

设为平面的一个法向量，

由得

取,则=(1, , ),

∵=(1,0,0)是平面的一个法向量,

∴

∵,∴当时， 有最小值，

∴点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为.