【题目】①设三个正实数a , b , c , 满足 ,求证:a , b , c一定是某一个三角形的三条边的长;
②设n个正实数 a1,a2,...an 满足不等式 (其中 ),求证: a1,a2,...an 中任何三个数都是某一个三角形的三条边的长.
【答案】①见解析②见解析
【解析】试题分析:本题主要考查了一般形式的柯西不等式,解决问题的关键是:①根据所给条件作差,、分解因式结合三角形三边关系判断即可;②设法把 中任何三个的关系转化为①条件即可.
试题解析:①由题意,得 ,所以(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)>0 ,由于 a,b,c>0 ,所以上面不等式左边至少有三项为正数,而四项之积为正,故这四项都是正数,从而推出 a+b>c,b+c>a,a,b,c>0,即 a,b,c 是某一个三角形的三条边的长.
②设法把 a1,a2,...an 中任何三个的关系转化为①的条件即可.
由已知及柯西不等式,得
.
所以, .
那么由①可知, a1,a2,a3 是某个三角形三条边的长,再由对称性可知 a1,a2,...an 中任何三个数都可以作为某一个三角形三条边的长.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题满分10分)
(2017天津)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:
连续剧播放时长(分钟) | 广告播放时长(分钟) | 收视人次(万) | |
甲 | 70 | 5 | 60 |
乙 | 60 | 5 | 25 |
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用,表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(1)用,列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,底面,底面是直角梯形,,,是上的一点.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)如图(1),若,求证:平面;
(Ⅲ)如图(2),若是的中点,,求二面角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中,选出适当的一种填空:
(1)记集合A={-1,p,2},B={2,3},则“p=3”是“A∩B=B”的__________________;
(2)“a=1”是“函数f(x)=|2x-a|在区间上为增函数”的________________.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在梯形中, , ,四边形为矩形,且平面, .
(1)求证: 平面;
(2)点在线段(含端点)上运动,当点在什么位置时,平面与平面所成锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E、F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图在三棱锥P﹣ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,已知AD=PD,PA=6,BC=8,DF=5,求证:
(1)直线PA∥平面DEF;
(2)平面DEF⊥平面ABC.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知矩形和菱形所在平面互相垂直,如图,其中,,,点是线段的中点.
(Ⅰ)试问在线段上是否存在点,使得直线平面?若存在,请证明平面,并求出的值;若不存在,请说明理由;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数f(x)= sin ,若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2 , 则m的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣6)∪(6,+∞)
B.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)
C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com