【题目】请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
【答案】(1) 当x＝15时，S取得最大值．(2) x＝20，包装盒的高与底面边长的比值为
【解析】试题分析：（1）先设包装盒的高为
，底面边长为
，写出
， 
与
的关系式，并注明
的取值范围，再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积
关于
的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；
（2）利用体积公式表示出包装盒容积
关于
的函数解析式，利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．
设包装盒的高为，底面边长为
由已知得
（1）∵
2分
∴当
时， 
取得最大值 3分
（2）根据题意有
5分
∴
。
由
得，
(舍)或
。
∴当
时
；当
时
7分
∴当
时取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为
即包装盒的高与底面边长的比值为
10分．
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．
整理评分数据，将分数以
为组距分成
组：
，
，
，
，
，
，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：
B餐厅分数频数分布表 | |
分数区间 | 频数 |
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评分低于30的人数；
（Ⅱ）从对B餐厅评分在
范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在范围内的概率；
（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．
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【题目】①设三个正实数a ， b ， c ， 满足
，求证：a ， b ， c一定是某一个三角形的三条边的长；
②设n个正实数 a1,a2,...an 满足不等式 
(其中 
)，求证： a1,a2,...an 中任何三个数都是某一个三角形的三条边的长.
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【题目】在△ABC中，直线AB的方程为3x﹣2y﹣1=0，直线AC的方程为2x+3y﹣18=0．直线BC的方程为3x+4y﹣m=0（m≠25）．
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）当△ABC的BC边上的高为1时，求m的值．
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【题目】已知点
，点
是椭圆
：
上任意一点，线段
的垂直平分线
交于点
，点的轨迹记为曲线
.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过的直线交曲线于不同的
，
两点,交
轴于点
，已知
，
，求
的值.
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【题目】已知椭圆
： 
（
）的左焦点为
，左准线方程为
.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）已知直线
交椭圆
于
， 
两点.
①若直线
经过椭圆
的左焦点
，交
轴于点
，且满足
， 
.求证： 
为定值；
②若
（
为原点），求
面积的取值范围.
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