Question

【题目】已知椭圆： （）的左焦点为，左准线方程为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知直线交椭圆于， 两点.

①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足， .求证： 为定值；

②若（为原点），求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】试题分析：（1）根据左焦点坐标得，根据左准线方程得，解方程组得，（2）①以算代证：即利用， 坐标表示，根据直线的方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理化简得定值，②的面积，因此根据直线的方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理及弦长公式求（用斜率表示），同理可得，代入面积公式化简可得.最后利用二次函数方法求值域，注意讨论斜率不存在的情形.

试题解析：解：（1）由题设知， ， ，

， ，

： .

（2）①由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为，则.

设， ，直线代入椭圆得，整理得，

， ， .

由， 知， ，

（定值）.

②当直线， 分别与坐标轴重合时，易知的面积，

当直线， 的斜率均存在且不为零时，设： ， ： ，

设， ，将代入椭圆得到，

， ，同理， ，

的面积 .

令 ， ，

令，则 .

综上所述， .