【题目】已知函数(
).
(Ⅰ)试判断函数的零点个数;
(Ⅱ)若函数在
上为增函数,求整数
的最大值.
(可能要用的数据: ,
,
).
【答案】(1)见解析(2)6
【解析】试题分析: (1)对函数求导,由
在
恒成立,则
在
上为增函数,由
,
可判断出函数有唯一零点; (2)对函数
求导,分离参变量,
在
上恒成立,构造新函数
求导,由(1)可知,a小于等于
在区间
上的最小值,根据函数的单调性,求得函数
最小值的取值范围,即可取得整数a的最大值.
试题解析:解:(Ⅰ) 在
上为增函数,
且,故
在
上为增函数,
又,
,
则函数在
上有唯一零点.
(Ⅱ)在
上恒成立,
当时显然成立,
当时,可得
在
上恒成立,
令,则
,
,
,
由(Ⅰ)可知: 在
上为增函数,故
在
上有唯一零点
,
则在区间
上为减函数,
在区间
上为增函数,
故时,
有最小值,
.
又,
,
则,
有,
所以,
,
令,则
最小值
,
因,则
的最小值大约在
之间,
故整数的最大值为6.
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【题目】已知点,点
是椭圆
:
上任意一点,线段
的垂直平分线
交于点
,点
的轨迹记为曲线
.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)过的直线交曲线
于不同的
,
两点,交
轴于点
,已知
,
,求
的值.
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【题目】已知函数,曲线
在点
处的切线与直线
垂直(其中
为自然对数的底数).
(I)求的解析式及单调递减区间;
(II)若存在 ,使函数
成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知椭圆:
(
)的左焦点为
,左准线方程为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知直线交椭圆
于
,
两点.
①若直线经过椭圆
的左焦点
,交
轴于点
,且满足
,
.求证:
为定值;
②若(
为原点),求
面积的取值范围.
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【题目】已知 =(sinx,sin(x﹣
)),
=(sinx,cos(x+
)),f(x)=
.
(1)求f(x)的解析式及周期;
(2)求f(x)在x∈[﹣ ,
]上的值域.
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【题目】判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并判断其真假:
(1)对任意x∈R,zx>0(z>0);
(2)对任意非零实数x1,x2,若x1<x2,则;
(3)α∈R,使得sin(α+)=sin α;
(4)x∈R,使得x2+1=0.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB⊥PA,BC=2AB=2AD=4BE,平面PAB⊥平面ABCD,
(Ⅰ)求证:平面PED⊥平面PAC;
(Ⅱ)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为 ,求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值.
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【题目】已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}. (Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若f(x)﹣2f( )≤k恒成立,求k的取值范围.
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【题目】已知,直线
:
,椭圆
:
,
、
分别为椭圆
的左、右焦点.
(1)当直线过右焦点
时,求直线
的方程;
(2)设直线与椭圆
交于
,
两点,
,
的重心分别为
,
,若原点
在以线段
为直径的圆内,求实数
的取值范围.
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