Question

【题目】已知点，点是椭圆：上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹记为曲线.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）过的直线交曲线于不同的，两点,交轴于点，已知，，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知，，利用椭圆的定义，即可得到椭圆的标准方程.

（Ⅱ）由题意知，当直线恰好过原点，可求得.

当直线不过原点，设直线：，得到，联立方程组，利用根与系数的关系和韦达定理，得到.

试题解析：（Ⅰ）由题意知，，

故由椭圆定义知，点的轨迹是以点，为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为，短半轴长为，

∴曲线的方程为：.

（Ⅱ）由题意知，

若直线恰好过原点，则，，，

∴，，则，

，，则，

∴.

若直线不过原点，设直线：，，

，，.

则，，

，，

由，得，从而；

由，得，从而；

故.

联立方程组得：整理得，

∴，，

∴.

综上所述，.