Question

【题目】已知矩形和菱形所在平面互相垂直，如图，其中，，，点是线段的中点.

（Ⅰ）试问在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，请证明平面，并求出的值；若不存在，请说明理由；

（Ⅱ）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）连接，得，进而得到直线平面，利用平行线的性质.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，进而得到面，得到，，以为空间原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的大小.

试题分析：（Ⅰ）作的中点，连接交于点，点即为所求的点.

证明：连接，

∵是的中点，是的中点，

∴，

又平面，平面，

∴直线平面.

∵，，

∴，

∴.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

又面面，面面，面，

所以面.

故，.

以为空间原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

∵，，

∴为正三角形，，

∴，，，，

∴，，，，

设平面的一个法向量，则由，可得

令，则.

设平面的一个法向量，则由，可得

令，则.

则，

设二面角的平面角为，则，

∴二面角的正弦值为.