Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知 

cosA

cosB

=

b

a

，且∠C=

2π

3

．
（Ⅰ）求角A，B的大小；
（Ⅱ）若BC边上的中线AM的长为

7

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，得到sin2A=sin2B，确定出A，B的大小；
（Ⅱ）设等腰三角形腰长为x，即AC=BC=x，CM=

1

2

x，在三角形ACM中，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC与BC的长，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）已知等式

cosA

cosB

=

b

a

利用正弦定理化简得：

cosA

cosB

=

sinB

sinA

，即sinAcosA=sinBcosB，
整理得：

1

2

sin2A=

1

2

sin2B，即sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A+2B=π（不合题意，舍去），
∵C=

2π

3

，
∴A=B=

π

6

；
（Ⅱ）设等腰三角形腰长为x，即AC=BC=x，CM=

1

2

x，
在△ACM中，由余弦定理得：AM²=AC²+CM²-2AC•CM•cosC，即7=x²+

1

4

x²+

1

2

x²，
解得：x=2，
则S_△ABC=

1

2

AC•BC•sinC=

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．