Question

19．已知f（x）=$\frac{2x}{1+x}$，求f（1）+f（2）+…+f（100）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{2}{2}$）+…+f（$\frac{100}{2}$）+…+f（$\frac{1}{100}$）+f（$\frac{2}{100}$）+…+f（$\frac{100}{100}$）的值．

Answer 1

分析 利用函数的解析式推出f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=2，然后利用表达式，推出f（1）+f（2）+…+f（100）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{2}{2}$）+…+f（$\frac{100}{2}$）+…+f（$\frac{1}{100}$）+f（$\frac{2}{100}$）+…+f（$\frac{100}{100}$）的值．

解答 解：f（x）=$\frac{2x}{1+x}$，
f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}$=$\frac{2}{1+x}$，
可得f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=2，
f（1）+f（2）+…+f（100）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{2}{2}$）+…+f（$\frac{100}{2}$）+…+f（$\frac{1}{100}$）+f（$\frac{2}{100}$）+…+f（$\frac{100}{100}$）
=100f（1）+[f（2）+$f（\frac{1}{2}）$]+[f（3）+f（$\frac{1}{3}$）]+…+[f（100）+f（$\frac{1}{100}$）]
=100×1+450×2
=1000．

点评 本题考查函数的值的求法，解析式的应用，考查分析问题解决问题的能力．