Question

己知抛物线y²=4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为    ．

Answer 1

【答案】分析：设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|²=a²+b²，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得的最大值．
解答：解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ
由抛物线定义，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得|AB|²=a²+b²，配方得|AB|²=（a+b）²-2ab，
又∵ab≤（） ²，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-2×（） ²=（a+b）²
得到|AB|≥（a+b）．
所以≤=，即的最大值为．
故答案为：
点评：本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．