Question

19．已知正数x，y满足x+y=1，则$\frac{4}{x+2}$$+\frac{1}{y+1}$的最小值为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由条件可得（x+2）+（y+1）=4，则$\frac{4}{x+2}$$+\frac{1}{y+1}$=$\frac{1}{4}$[（x+2）+（y+1）]（$\frac{4}{x+2}$$+\frac{1}{y+1}$），展开后，运用基本不等式即可得到所求最小值，注意等号成立的条件．

解答 解：正数x，y满足x+y=1，
即有（x+2）+（y+1）=4，
则$\frac{4}{x+2}$$+\frac{1}{y+1}$=$\frac{1}{4}$[（x+2）+（y+1）]（$\frac{4}{x+2}$$+\frac{1}{y+1}$）
=$\frac{1}{4}$[5+$\frac{x+2}{y+1}$+$\frac{4（y+1）}{x+2}$]
≥$\frac{1}{4}$[5+2$\sqrt{\frac{x+2}{y+1}•\frac{4（y+1）}{x+2}}$]=$\frac{1}{4}$×（5+4）=$\frac{9}{4}$，
当且仅当x=2y=$\frac{2}{3}$时，取得最小值$\frac{9}{4}$．
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．