Question

（本题满分14分）已知是函数的一个极值点.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）的单调增区间是，的单调减区间是
（Ⅲ）。

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用导数求解参数的值，以及函数的单调区间，和函数与方程的关系的综合运用。
（1）由于是函数的一个极值点.，则说明在该点的导数值为零，得到参数a的值。
（2）然后利用第一问的结论，得到导数，结合导数的符号与单调性的关系，求解单调区间。
（3）分离函数的思想，研究两个图像的交点个数，即为方程解的问题的运用。
（Ⅰ）因为
所以
因此
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，


当时，
当时，
所以的单调增区间是
的单调减区间是
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，
所以的极大值为，极小值为
因此

所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当
因此，的取值范围为。