Question

已知函数f(x)=loga

1-mx

x-1

(a＞0，a≠1)的图象关于原点对称．
（1）求m的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并根据定义证明．

Answer 1

分析：（1）由题意得，f（x）是奇函数，得f（-x）+f（x）=0，代入解析式再用比较系数法，可得m=-1；
（2）令对数的真数为t，利用单调性的定义可以证出t（x）在区间（1，+∞）上是减函数，再用复合函数单调性可得原函数在区间（1，+∞）上的单调性．

解答：解：（1）∵函数f(x)=loga

1-mx

x-1

(a＞0，a≠1)的图象关于原点对称
∴函数为奇函数，满足f（-x）+f（x）=0，即loga

1+mx

-x-1

+loga

1-mx

x-1

=0对定义域内任意x都成立，
即loga(

1+mx

-x-1

•

1-mx

x-1

)=log_a1，

1-m2x2

1-x2

=1对定义域内任意x都成立，
∴m²=1，得m=±1，经检验m=1不符合题意舍去，所以m的值为-1；
（2）当0＜a＜1时，f（x）是（1，+∞）的增函数；当a＞1时，f（x）是（1，+∞）的减函数，证明如下
由（1）得f(x)=loga

1+x

x-1

，（x＞1）
设t=

1+x

x -1

，再令1＜x₁＜x₂，则t₁=

1+x1

x1-1

，t₂=

1+x2

x2-1

，
可得t₁-t₂=

1+x1

x1-1

-

1+x2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，有t₁＞t₂，
∴函数t=

1+x

x-1

是（1，+∞）上的减函数．
根据复合函数单调性法则，得：当0＜a＜1时，f（x）是（1，+∞）的增函数；
当a＞1时，f（x）是（1，+∞）的减函数．

点评：本题给出真数为分式对数型函数，并研究它的单调性与奇偶性，着重考查了基本初等函数的单调性和奇偶性等常见性质，属于基础题．