Question

已知α为锐角，且tanα=

2

-1，函数f（x）=2xtan2a+sin（2a+

π

4

），数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角的正切可求得tan2α=1，α为锐角，可求得sin（2α+

π

4

）=1，于是可知函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）依题意，可知数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，于是可求得a_n=2ⁿ-1，na_n=n•2ⁿ-n，先用错位相减法求得{n•2ⁿ}的前n项和T_n，再利用分组求和法求得S_n．

解答：解：（Ⅰ）∵tanα=

2

-1，
∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=1，又α为锐角，
∴2α=

π

4

，
∴sin（2α+

π

4

）=1，
∴f（x）=2x+1；
（Ⅱ）∵a_n+1=f（a_n）=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，
∴数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1，
∴na_n=n•2ⁿ-n，
下面先求{n•2ⁿ}的前n项和T_n：
T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2-2n+1

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹-

(1+n)n

2

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，求得a_n=2ⁿ-1是关键，也是难点，突出考查错位相减法与分组求和法，属于难题．