Question

已知α为锐角，且tan(

π

4

+α)=2．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求

2cos2 α 2 -1-3sinα

2 sin(α+ π 4 )

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据 tan(

π

4

+α)=

1+tanα

1-tanα

=2，解方程求得tanα的值．
（Ⅱ） 由于

2cos2 α 2 -1-3sinα

2 sin(α+ π 4 )

=

cosα-3sinα

sinα+cosα

=

1-3tanα

1+tanα

，故把 tanα=

1

3

代入，即可得到结果．

解答：解：（Ⅰ）∵tan(

π

4

+α)=

1+tanα

1-tanα

=2，…（2分）
所以，1+tanα=2-2tanα，所以tanα=

1

3

．…（5分）
（Ⅱ）

2cos2 α 2 -1-3sinα

2 sin(α+ π 4 )

=

cosα-3sinα

sinα+cosα

 …（7分）
=

1-3tanα

1+tanα

．…（10分）
把 tanα=

1

3

代入，可得原式=0．
所以，

2cos2 α 2 -1-3sinα

2 sin(α+ π 4 )

=0．…（13分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．