Question

【坐标系与参数方程】设直线l的参数方程为

x=2+t y=2t

（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=

8cosθ

sin2θ

．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|．

Answer 1

考点：点的极坐标和直角坐标的互化,两点间的距离公式,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由ρ=

8cosθ

sin2θ

得 ρ²sin²θ=8ρcosθ，故有y²=8x，故曲线C表示顶点在原点，焦点在x上的抛物线．
（2）

x=2+t y=2t

代入y²=8x求得 t1+t2=2

5

，t₁•t₂=-20，由此求得|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4 t1•t2

的值．

解答： 解：（1）由ρ=

8cosθ

sin2θ

 得ρsin²θ=8cosθ，∴ρ²sin²θ=8ρcosθ，∴y²=8x，
∴曲线C表示顶点在原点，焦点在x上的抛物线．
（2）

x=2+t y=2t

 代入y²=8x得 t²-2

5

t-20=0，∴t1+t2=2

5

，t₁•t₂=-20，
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4 t1•t2

=10．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，参数的几何意义，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．