Question

已知点A（-2，0），B（2，0），M（-1，0），直线PA，PB相交于点P，且它们的斜率之积为-

3

4

．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）试判断以PB为直径的圆与圆x²+y²=4的位置关系，并说明理由；
（3）直线PM与椭圆的另一个交点为N，求△OPN面积的最大值（O为坐标原点）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,轨迹方程,圆与圆锥曲线的综合

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用直线PA，PB相交于点P，且它们的斜率之积为-

3

4

，建立方程，化简可求动点P的轨迹方程；
（2）解法1：求出以PB为直径的圆的圆心与半径，利用|OQ|=r₂-r₁，可得两圆内切；解法2：由椭圆的定义得|PM|+|PN|=2a=4，圆心距|OO′|=

1

2

|PN|=2-

1

2

|PM|=2-|O′M|，即可得出结论；
（3）解法1：分类讨论，设直线PN的方程为y=k（x+1）代入椭圆方程，表示出△OPN面积，利用配方法可求最值；解法2：设直线PN的方程为x=my-1代入椭圆方程，表示出△OPN面积，利用配方法可求最值．

解答： 解：（1）设P（x，y），由已知得

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

(x≠±2)
化简得

x2

4

+

y2

3

=1，
所以点P的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）．------------（3分）
（2）解法1：设点P（x₀，y₀），PB的中点为Q，则Q(

x0+1

2

，

y0

2

)，|PB|=

(x0-1)2+ y 2 0

=

x 2 0 -2x0+1+3- 3 4 x 2 0

=

1 4 x 2 0 -2x0+4

=2-

1

2

x0，
即以PB为直径的圆的圆心为Q(

x0+1

2

，

y0

2

)，半径为r1=1-

1

4

x0，
又圆x²+y²=4的圆心为O（0，0），半径r₂=2，|OQ|=

( x0+1 2 )2-( y0 2 )2

=

1 4 x 2 0 + 1 2 x0+ 1 4 + 1 4 (3- 3 4 x 2 0 )

=

1 16 x 2 0 + 1 2 x0+1

=1+

1

4

x0，
故|OQ|=r₂-r₁，即两圆内切．------------------（7分）
解法2：由椭圆的定义得|PM|+|PN|=2a=4
圆心距|OO′|=

1

2

|PN|=2-

1

2

|PM|=2-|O′M|
所以以PB为直径的圆与圆x²+y²=4内切．
（3）解法1：
若直线PN的斜率不存在，则PN：x=-1，解得P(-1，

3

2

)，N(-1，-

3

2

)，|PN|=3，S△PON=

3

2

；
若直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x+1）（k≠0），
由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
设P（x₁，y₁），N（x₂，y₂），△=64k⁴-4（4k²+3）（4k²-12）=144（k²+1），|PN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

△

4k2+3

=

12(1+k2)

4k2+3

，
原点O到直线PN的距离d=

|k|

1+k2

，
所以S△PON=

1

2

|PN|d=

6 1+k2 |k|

4k2+3

=6

k2+k4 (4k2+3)2

设4k²+3=t，则t＞3，则有S△PON=6

- 3 16t2 - 1 8t + 1 16

=6

- 3 16 ( 1 t + 1 3 )2+ 1 12

因为0＜

1

t

＜

1

3

，所以S△PON∈(0，

3

2

)．
综上所述，S_△PON的最大值为

3

2

．------------------（12分）
解法2：设直线PN的方程为x=my-1．
由

x=my-1 x2 4 + y2 3 =1

得（3m²+4）y²-6my-9=0，
设P（x₁，y₁），N（x₂，y₂），△=144（m²+1），|y1-y2|=

△

3m2+4

=

12 m2+1

3m2+4

，S△PON=

1

2

|OM||y1-y2|=

6 m2+1

3m2+4

=6

m2+1 (3m2+4)2

设3m²+4=t，则t≥4，则有S△PON=6

t-1 3t2

=6

- 1 3 ( 1 t - 1 2 )2+ 1 12

．
因为0＜

1

t

≤

1

4

，所以当

1

t

=

1

4

，即t=4，m=0时，S_△PON的最大值为

3

2

．------------------（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查配方法的运用，正确设出直线方程是关键．