Question

已知函数f（x）=x²+lnx-ax．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1）上是增函数，求a得取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设g（x）=x²+|x-a|，（1≤x≤3），求函数g（x）的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=x²+lnx-3x；
∴
由f′（x）＞0得，；
故所求f（x）的单调增区间为
（Ⅱ）．
∵f（x）在（0，1）上是增函数，
∴在（0，1）上恒成立，即恒成立．
∵（当且仅当时取等号）．
所以．
当时，易知f（x）在（0，1）上也是增函数，
所以．　
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
当a≤1时，g（x）=x²+x-a在区间[1，3]上是增函数
所以g（x）的最小值为g（1）=2-a．　　　　
当时，　
因为函数g（x）在区间[a，3]上是增函数，在区间[1，a]上也是增函数，
所以g（x）在[1，3]上为增函数，
所以g（x）的最小值为g（1）=a．
所以，当a≤1时，g（x）的最小值为2-a；
当时，g（x）的最小值为a．
分析：（Ⅰ）求单调增区间，先求导，令导函数大于等于0即可．（Ⅱ）已知f（x）在区间（0，1）上是增函数，即f′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．
（Ⅲ）去绝对值符号，转化为二次函数在定区间上求最值问题，对对称轴讨论．
点评：此题是难题．考查利用导数研究函数的单调性和二次函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．