Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，a≠0，a≠1）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n²+S_n•a_n，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，cn=

1

an+1

-

1

an+1-1

，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＞2n-

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知a₁=a，S_n=a（S_n-a_n+1），S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1），由此可知a_n=a•a_n-1，

an

an-1

=a，所以a_n=a•a^n-1=aⁿ．
（Ⅱ）由题意知a≠1，bn=(an)2+

a(an-1)

a-1

an，bn=

(2a-1)a2n-aan

a-1

，由此可解得a=

1

2

．
（Ⅲ）证明：由题意知bn=(

1

2

)n，所以cn=

1

( 1 2 )n+1

-

1

( 1 2 )n+1-1

=2-

1

2n+1

+

1

2n+1-1

，由此可知T_n＞2n-

1

2

．

解答：解：（Ⅰ）S₁=a（S₁-a₁+1）
∴a₁=a，．（1分）
当n≥2时，S_n=a（S_n-a_n+1），S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1），
两式相减得：a_n=a•a_n-1，

an

an-1

=a
（a≠0，n≥2）即{a_n}是等比数列．
∴a_n=a•a^n-1=aⁿ；（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a≠1，
bn=(an)2+

a(an-1)

a-1

an，bn=

(2a-1)a2n-aan

a-1

，
若{b_n}为等比数列，则有b₂²=b₁b₃，
而b₁=2a²，b₂=a³（2a+1），b₃=a⁴（2a²+a+1）（6分）
故[a³（2a+1）]²=2a²•a⁴（2a²+a+1），解得a=

1

2

，（7分）
再将a=

1

2

代入得bn=（

1

2

）ⁿ成立，所以a=

1

2

．（8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知bn=(

1

2

)n，
所以cn=

1

( 1 2 )n+1

-

1

( 1 2 )n+1-1

=

2n

2n+1

+

2n+1

2n+1-1

=2-

1

2n+1

+

1

2n+1-1

（10分）
所以cn＞2-

1

2n

+

1

2n+1

T_n=c₁+c₂++c_n＞(2-

1

2

+

1

22

)+（2-

1

22

+

1

23

）++(2-

1

2n

+

1

2n+1

)
=2n-

1

2

+

1

2n+1

＞2n-

1

2

（12分）

点评：本题考查数列知识的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．