Question

（1）证明：f（x）=x⁴在（-∞，+∞）上不具有单调性．
（2）已知g(x)=

ax+1

x+2

在（-2，+∞）上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为证明函数不单调，所以只要存在不满足单调性的变量即可，所以可用特殊值法来验证．
（2）可由单调性定义来研究，先设任意x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂则有g(x1)-g(x2)=

(x1-x2)(2a-1)

(x1+2)(x2+2)

＞0分析求解．

解答：解：（1）证明：∵定义域为（-∞，+∞）
取x₁=1，x₂=2，则x₁＜x₂
又∵f（1）=1，f（2）=8，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴x₁＜x₂时，f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在定义域上不是减函数，
取x₃=-2，x₄=1，则x₃＜x₄
又∵f（-2）=8，f（1）=1∴f（x₃）＞f（x₄）
即x₃＜x₄时，f（x₃）＜f（x₄）
∴f（x）在定义域上不是增函数
综上：f（x）在定义域上不具有单调性．
（2）设任意x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂
则g(x1)-g(x2)=

(x1-x2)(2a-1)

(x1+2)(x2+2)

∵x₁＞-2，x₂＞-2，x₁＜x₂
∴x₁+2＞0，x₂+2＞0，x₁-x₂＜0
∵g（x）是（-2，+∞）的减函数
∴g（x₁）＞g（x₂）恒成立
即g（x₁）-g（x₂）＞0恒成立
∴A中必有2a-1＞0，
∴a＞

1

2

．

点评：本题主要考查函数的单调性，当不具有单调性，可用特殊值法，若证明单调性则必须具有一般性．