Question

函数f（x）=

a

x

+xlnx（a≠0），g（x）=x³-x²-3．
（Ⅰ）试判断函数g（x）在区间（0，2）上的单调性；
（Ⅱ）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（Ⅲ）如果对任意的x₁，x₂∈[

1

2

，2]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，即可确定函数在区间（0，2）上的单调性；
（Ⅱ）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，等价于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，
求出函数的最值，即可求满足条件的最大整数M；
（Ⅲ）对任意的x₁，x₂∈[

1

2

，2]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，等价于a≥x-x²lnx恒成立，求右边的最值，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）考察g（x）=x³-x²-3，则g'（x）=3x²-2x=3x（x-

2

3

）
由g′（x）＞0得x＞

2

3

或x＜0，由g′（x）＜0得0＜x＜

2

3

，
故函数在区间（0，

2

3

）上的单调减，在（

2

3

，2）上单调递增；
（Ⅱ）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，
等价于：[g（x₁）-g（x₂）]max≥M
由（Ⅰ）可知：当x∈[0，2]时，g(x)min=g(

2

3

)=-

85

27

，g（x）_max=g（2）=1
故[g（x₁）-g（x₂）]_max=g（x）_max-g（x）_min=

112

27

，
所以满足条件的最大整数M=4；
（Ⅲ）对任意的x₁，x₂∈[

1

2

，2]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，
等价于：在区间[

1

2

，2]上，函数f（x）的最小值不小于g（x）的最大值
由（Ⅱ）知，在区间[

1

2

，2]上，g（x）的最大值为g（2）=1
故在区间[

1

2

，2]上，f（x）≥1即可得到实数a的取值范围．
当x∈[

1

2

，2]时，f（x）=

a

x

+xlnx≥1，则a≥x-x²lnx
记h（x）=x-x²lnx，h′（x）=1-2xlnx-x，h′（1）=0，
即在[

1

2

，1]上h′（x）＞h′（1）=0，h（x）单调递增，
在[1，2]上h′（x）＜h′（1）=0，h（x）单调递减．
则h（x）_max=h（1）=1，
故当a≥1时，f（x）≥1．
故对任意的x₁，x₂∈[

1

2

，2]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立的实数a的取值范围为a≥1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．