Question

13．已知f（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{{e}^{x}}{e}$-3，F（x）=lnx+$\frac{{e}^{x}}{e}$-3x+2．
（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）判断函数F（x）在（0，+∞）上零点的个数．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，通过解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性判断出函数F（x）的大致图象，从而判断出函数的零点的个数．

解答 解：（1）f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{{e}^{x}}{e}$=$\frac{{{x}^{2}e}^{x}-e}{{ex}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）F′（x）=f（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{{e}^{x}}{e}$-3，
由（1）得：?x₁，x₂，满足0＜x₁＜1＜x₂，
使得f（x）在（0，x₁）大于0，在（x₁，x₂）小于0，在（x₂，+∞）大于0，
即F（x）在（0，x₁）递增，在（x₁，x₂）递减，在（x₂，+∞）递增，
而F（1）=0，x→0时，F（x）→-∞，x→+∞时，F（x）→+∞
画出函数F（x）的草图，如图示：，
故F（x）的零点有3个．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．