Question

2．已知正方形ABCD的边长为2，E为线段CD（含端点）上一动点，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$的最大值为4．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DC}$，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BD}$，得出$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$关于λ的函数，根据λ的范围求出最大值．

解答 解：设$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DC}=λ\overrightarrow{AB}$，则$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{AB}$，
又$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$）=${\overrightarrow{AD}}^{2}$-λ${\overrightarrow{AB}}^{2}$+（λ-1）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=4-4λ．
∵0≤λ＜1，
∴当λ=0时，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$取得最大值4．
故答案为：4．

点评 本题考查了平面向量的线性运算，数量级运算，属于中档题．