Question

12．已知A，B，C是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右、上顶点，点P是椭圆E上不同于A，B，C的一动点，若椭圆E的长轴长为4，且直线CA，CB的斜率满足k_CA•k_CB=-$\frac{1}{4}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线AC与PB交于点M，直线CP交x轴与点N，
①当点M在以AB为直径的圆上时，求点P的横坐标；
②试问：$\frac{1}{{k}_{MN}}$-$\frac{1}{{k}_{CP}}$（k_MN，k_CP表示直线MN，CP的斜率）是否为定值？若是，求出该定值；若不是．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出A，B，C的坐标，运用直线的斜率公式，可得a=2b，由题意可得a=2，求得b=1，进而得到椭圆方程；
（2）①求得A，B，C的坐标，可得直线AC的斜率，由点M在以AB为直径的圆上，可得AM⊥BM，
可得k_AC•k_BP=-1，即k_BP=-2，设P（x₀，y₀），由题意方程和直线的斜率公式，解方程可得P的横坐标；
②求得直线CP的斜率，及方程，令y=0，可得N的坐标，再由直线AC，BP的方程可得M的坐标，运用两点的斜率公式，可得MN的斜率，化简整理即可得到定值2．

解答 解：（1）由题意可得A（-a，0），B（a，0），C（0，b），
则k_CA•k_CB=$\frac{b}{a}$•$\frac{b}{-a}$=-$\frac{1}{4}$，即为a=2b，
由题意可得a=2，则b=1，
即有椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）①由椭圆方程可得A（-2，0），B（2，0），C（0，1），
可得k_AC=$\frac{1}{2}$，
由点M在以AB为直径的圆上，可得AM⊥BM，
可得k_AC•k_BP=-1，即k_BP=-2，
设P（x₀，y₀），可得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}=4}\\{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}=-2}\end{array}\right.$，消去y₀，可得17x₀²-64x₀+60=0，
解得x₀=$\frac{30}{17}$或x₀=2．
点P是椭圆E上不同于B的点，可得x₀=$\frac{30}{17}$；
②由上面可得k_CP=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$，即$\frac{1}{{k}_{CP}}$=$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$，
直线CP的方程为y=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x+1，令y=0，可得x=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$，即N（-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$，0），
联立直线AC，BP的方程，可得$\left\{\begin{array}{l}{y=1+\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}（x-2）}\end{array}\right.$，
解得M（$\frac{2（2{y}_{0}+{x}_{0}-2）}{2{y}_{0}-{x}_{0}+2}$，$\frac{4{y}_{0}}{2{y}_{0}-{x}_{0}+2}$），
则$\frac{1}{{k}_{MN}}$=$\frac{2（2{y}_{0}+{x}_{0}-2）（{y}_{0}-1）+{x}_{0}（2{y}_{0}-{x}_{0}+2）}{4{y}_{0}（{y}_{0}-1）}$
=$\frac{2{y}_{0}+{x}_{0}-2}{2{y}_{0}}$+$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$•$\frac{2{y}_{0}-{x}_{0}+2}{4{y}_{0}}$，
即有$\frac{1}{{k}_{MN}}$-$\frac{1}{{k}_{CP}}$=$\frac{2{y}_{0}+{x}_{0}-2}{2{y}_{0}}$+$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$•$\frac{2{y}_{0}-{x}_{0}+2}{4{y}_{0}}$-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$
=$\frac{2{y}_{0}+{x}_{0}-2}{2{y}_{0}}$+$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$•$\frac{-2{y}_{0}-{x}_{0}+2}{4{y}_{0}}$=1+$\frac{{x}_{0}-2}{2{y}_{0}}$-$\frac{{x}_{0}}{4{y}_{0}}$（2+$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$）
=1-$\frac{1}{{y}_{0}}$-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4{y}_{0}（{y}_{0}-1）}$，
由$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1，可得x₀²=4（1-y₀²），代入上式，可得
$\frac{1}{{k}_{MN}}$-$\frac{1}{{k}_{CP}}$=1-$\frac{1}{{y}_{0}}$-$\frac{4（1-{{y}_{0}}^{2}）}{4{y}_{0}（{y}_{0}-1）}$=1-$\frac{1}{{y}_{0}}$+$\frac{1+{y}_{0}}{{y}_{0}}$=2．
即$\frac{1}{{k}_{MN}}$-$\frac{1}{{k}_{CP}}$为定值2．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用直线的斜率公式，考查直径所对的圆周角为直角，运用直线的斜率之积为-1，考查直线的交点的求法，注意联立直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．