Question

4．某同学通过选拔考试进入学校的“体育队”和“文艺队”，进入这两个队成功与否是相互独立的，能同时进入这两个队的概率是$\frac{1}{24}$，至少能进入一个队的概率是$\frac{3}{8}$，并且能进入“体育队”的概率小于能进入“文艺队”的概率．
（Ⅰ）求该同学通过选拔进入“体育队”的概率p₁和进入“文艺队”的概率p₂；
（Ⅱ）学校对于进入“体育队”的同学增加2个选修课学分，对于进入“文艺队”的同学增加1个选修课学分，求该同学获得选修课加分分数X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件利用概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式列出方程组，能求出该同学通过选拔进入“体育队”的概率p₁和进入“文艺队”的概率p₂．
（Ⅱ）依题意随机变量X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）∵某同学通过选拔考试进入学校的“体育队”和“文艺队”，
进入这两个队成功与否是相互独立的，能同时进入这两个队的概率是$\frac{1}{24}$，至少能进入一个队的概率是$\frac{3}{8}$，
并且能进入“体育队”的概率小于能进入“文艺队”的概率．
该同学通过选拔进入“体育队”的概率p₁和进入“文艺队”的概率p₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{p}_{1}{p}_{2}=\frac{1}{24}}\\{{p}_{1}+{p}_{2}-{p}_{1}{p}_{2}=\frac{3}{8}}\\{{p}_{1}＜{p}_{2}}\end{array}\right.$，
解得${p}_{1}=\frac{1}{6}，{p}_{2}=\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）依题意随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=（1-$\frac{1}{6}$）（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{5}{8}$，
P（X=1）=（1-$\frac{1}{6}$）×$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{24}$，
P（X=2）=$\frac{1}{6}×（1-\frac{1}{4}）$=$\frac{1}{8}$，
P（X=3）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{24}$，
∴X的分布列：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{8}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{24}$

E（X）=$0×\frac{5}{8}+1×\frac{5}{24}+2×\frac{1}{8}+3×\frac{1}{24}$=$\frac{7}{12}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．