Question

15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sinA=4cosBsinC+bsin2C，且C≠$\frac{π}{2}$．
（1）求c；
（2）若C=$\frac{2π}{3}$，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，化简已知等式可得4sinB=2bsinC，利用正弦定理可求4b=2bc，从而解得c的值．
（2）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{2}{sin\frac{2π}{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，可得△ABC周长l=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$），利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）4sinA=4cosBsinC+bsin2C，
⇒4sin（B+C）=4cosBsinC+2bsinCcosC，
⇒4sinBcosC+4cosBsinC=4cosBsinC+2bsinCcosC，
⇒4sinBcosC=2bsinCcosC，
⇒4sinB=2bsinC，（C≠$\frac{π}{2}$，cosB≠0）
⇒4b=2bc，（$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$）
⇒c=2…（7分）
（2）∵C=$\frac{2π}{3}$，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{2}{sin\frac{2π}{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴△ABC周长l=a+b+c=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB
=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-A）
=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$），
∵0$＜A＜\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$＜A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴sin（A+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴△ABC周长l=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$）∈（4，2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]…（14分）

点评 本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．