Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，求函数f（x）的值域；
（3）当x∈[0，2π]时，求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由题意，利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简得到f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由T=$\frac{2π}{ω}$得到最小正周期；
（2）求出2x-$\frac{π}{6}$的取值范围，利用函数单调性求出f（x）的值域；
（3）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$求出f（x）的单调增区间，再讨论k的值求出增区间并与[0，2π]求交集即可．

解答 解：（1）因为f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（1-cos2x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
所以T=$\frac{2π}{ω}$=π；
（2）因为x∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以2x-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
所以-$\frac{1}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1，
所以0≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}$，
所以f（x）的值域为：[0，$\frac{3}{2}$]；
（3）因为当$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）即-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ（k∈Z）时，f（x）单调递增，
所以当k=0时，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
当k=1时，x∈[$\frac{5π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]，
当k=2时，x∈[$\frac{11π}{6}$，$\frac{7π}{3}$]，
又因为x∈[0，2π]，
所以增区间为：[0，$\frac{π}{3}$]，[$\frac{5π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]，和[$\frac{11π}{6}$，2π]．

点评 本题主要考察正弦型三角函数的值域和单调性的求法，主要考察学生整体思想．