Question

16．已知F是抛物线y²=2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，若直线AB的斜率为3，则线段AB的中点P的坐标为（1，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入抛物线的方程，求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，以及中点坐标公式，结合直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求中点P的坐标．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，
抛物线y²=2x的焦点为F（$\frac{1}{2}$，0），准线为x=-$\frac{1}{2}$，
由抛物线的定义，可得|AF|=x₁+$\frac{1}{2}$，|BF|=x₂+$\frac{1}{2}$，
由AF|+|BF|=3，可得x₁+x₂+1=3，
即x₁+x₂=2，即$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，
AB的中点的横坐标为1，
又k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}}$=$\frac{2}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=3，
即为y₁+y₂=$\frac{2}{3}$，则$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{1}{3}$．
则AB的中点坐标为（1，$\frac{1}{3}$）．
故答案为：（1，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查线段中点的坐标，注意运用抛物线的定义、方程和性质，考查直线的斜率公式和中点坐标公式的运用，以及运算能力，属于中档题．