Question

6．设数列{a_n}的前n项和为S_n，对于任意的n∈N^*，都有S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的首项a₁及数列的递推关系式a_n+1=f（a_n）；
（2）若数列{a_n+c}成等比数列，求常数c的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（3）数列{a_n}中是否存在三项a_s，a_p，a_r（s＜p＜r），它们组成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由递推公式a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁求解
（2）利用递推公式可得a_n=s_n-s_n-1，利用等比数列的定义可求c
（3）假设存在a_s，a_p，a_r成等差数列，则2a_p=a_s+a_r，结合（1）中的通项公式进行推理．

解答 解：（1）令n=1，则a₁=S₁=2a₁-3，所以a₁=3．      …（1分）
由S_n=2a_n-3n①，得S_n+1=2a_n+1-3（n+1）②，…（2分）
②式减①式，得a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，…（3分）
故数列的递推关系式为a_n+1=2a_n+3．           …（4分）
（2）由（1）知，a_n+1=2a_n+3，则${a_{n+1}}+c=2{a_n}+c+3=2（{{a_n}+\frac{c+3}{2}}）$，…（1分）
由题意a_n+1+c=q（a_n+c），故当q=2，且$c=\frac{c+3}{2}$时，数列{a_n+c}是等比数列，
所以当c=3时，数列{a_n+c}成等比数列．     …（3分）
此时，$\frac{{{a_{n+1}}+3}}{{{a_n}+3}}=2$．故${a_n}+3=（{a_1}+3）•{2^{n-1}}$，即${a_n}=3•{2^n}-3$，n∈N^*．…（5分）
综上，c=3，{a_n}的通项公式为${a_n}=3•{2^n}-3$，n∈N^*．   …（6分）
（3）假设a_s，a_p，a_r（s＜p＜r）成等差数列，则2a_p=a_s+a_r，…（1分）
即2（3•2^p-3）=（3•2^s-3）+（3•2^r-3），所以2^p+1=2^s+2^r，…（2分）
从而，2^p-s+1=1+2^r-s，…（4分）
因为s，p，r∈N^*且s＜p＜r，故2^p-s+1为偶数，而1+2^r-s为奇数．
所以，2^p-s+1=1+2^r-s不可能成立，即不存在满足条件的三项．  …（6分）

点评 本题主要考查了数列的递推关系a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁的应用及等比数列的定义，而对存在性问题，一般是先假设存在，然后由假设结合已知条件进行推理，看是否产生矛盾，从而判断存在性．