Question

11．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin²$\frac{A-B}{2}$+sinAsinB=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$．
（1）求角C的大小； 
（2）若b=4，△ABC的面积为6，求边c的值．

Answer 1

分析 （1）利用降幂公式，两角和与差的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式，可求cosC的值，结合C的范围可求C的值．
（2）利用三角形面积公式可求a的值，结合余弦定理即可求得c的值．

解答 解：（1）sin²$\frac{A-B}{2}$+sinAsinB=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$．
⇒$\frac{1-cos（A-B）}{2}+\frac{2sinAsinB}{2}=\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$，
⇒$\frac{1-cosAcosB-sinAsinB}{2}+\frac{2sinAsinB}{2}=\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$，
⇒$\frac{1-cosAcosB+sinAsinB}{2}=\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$，
⇒$\frac{1-cos（A+B）}{2}=\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$，
⇒$\frac{1-cos（π-C）}{2}=\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$，
⇒$\frac{1+cosC}{2}=\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$，
⇒$cosC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，C=\frac{π}{4}$，
（2）∵$S=\frac{1}{2}absinC=6$，$b=4，C=\frac{π}{4}$，
∴$a=3\sqrt{2}$，
∵c²=a²+b²-2abcosC=10，
∴$c=\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式和定理是解题的关键，考查了转化思想，属于中档题．