Question

1．（1）已知a＞b＞0，证明：（${\sqrt{a}$-$\sqrt{b}}$）²＜$\frac{{{{（{a-b}）}^2}}}{4b}$；
（2）设a，b，c为△ABC的三条边，求证：a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca）．

Answer 1

分析 （1）采用分析法推导使结论成立的条件即可；
（2）根据三角形两边之和大于第三边代入式子即可得出结论．

解答 证明：（1）欲证${（{\sqrt{a}-\sqrt{b}}）^2}＜\frac{{{{（{a-b}）}^2}}}{4b}$，
只需证$1＜\frac{{{{（{\sqrt{a}+\sqrt{b}}）}^2}}}{4b}$，
即证$1＜\frac{{a+b+2\sqrt{a}\sqrt{b}}}{4b}$
∵a＞b＞0，∴$\frac{a+b+2\sqrt{a}\sqrt{b}}{4b}$＞$\frac{b+b+2\sqrt{b}\sqrt{b}}{4b}$=1．
∴（${\sqrt{a}$-$\sqrt{b}}$）²＜$\frac{{{{（{a-b}）}^2}}}{4b}$．
（2）∵a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，
∴a²+b²+c²＜a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）=2（ab+bc+ca）．
∴a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca）．

点评 本题考查了不等式的证明方法，属于中档题．