Question

12．下列各式中最小值为2的是（　　）

• A． $\frac{{{x^2}+5}}{{\sqrt{{x^2}+4}}}$
• B． $\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$
• C． 2^x+$\frac{1}{2^x}$
• D． cosx+$\frac{1}{cosx}$

Answer 1

分析 选项A：因为当且仅当$\sqrt{{x}^{2}+4}=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$即x²=-3时取等，显然x无解，所以不能取等，A不正确；
选项B：ab＜0时，其最小值小于0，B不正确；
选项C：${2^x}＞0∴{2^x}+\frac{1}{2^x}≥2$，当且仅当x=0时，取“=”，C正确．
选项D：cos＜0时，其最小值小于0，D不正确．

解答 解：由题意，
A：$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$≥2，当且仅当$\sqrt{{x}^{2}+4}=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$即x²=-3时取“=“，显然x无实数解，所以A不正确；
B：若ab＜0时，则$\frac{b}{a}＜0，\frac{a}{b}＜0$，即$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$＜0，所以B不正确；
C：∵${2^x}＞0∴{2^x}+\frac{1}{2^x}≥2$，当且仅当x=0时，取“=”，所以C正确．
D：当cos＜0时，其最小值小于0，所以D不正确．
故选：C．

点评 本题考查均值不等式，关键在于取等条件的判断，本题运用了综合法以及整体思想等，难度中上．