Question

17．在直角坐标系xOy中，射线OM的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数，t≥0），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求射线OM的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=3$\sqrt{3}$，射线OM与曲线C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

Answer 1

分析 （I）射线OM的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数，t≥0），化为普通方程：y=$\sqrt{3}$x，可知：射线OM与x轴的正半轴成60°的角，即可得出射线OM的极坐标方程．
（II）设P（ρ₁，θ₁），联立$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}=2cos{θ}_{1}}\\{{θ}_{1}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得P的极坐标．同理可得Q的极坐标，即可得出．

解答 解：（I）射线OM的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数，t≥0），化为普通方程：y=$\sqrt{3}$x，可知：射线OM与x轴的正半轴成60°的角，
可得：射线OM的极坐标方程为：$θ=\frac{π}{3}$．
（II）设P（ρ₁，θ₁），由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}=2cos{θ}_{1}}\\{{θ}_{1}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}=1}\\{{θ}_{1}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$．
设Q（ρ₂，θ₂），由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{2}（si{n}_{{θ}_{2}}+\sqrt{3}cos{θ}_{2}）=3\sqrt{3}}\\{{θ}_{2}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{2}=3}\\{{θ}_{2}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$．
∴θ₁=θ₂，|PQ|=ρ₂-ρ₁=2．

点评 本题考查了极坐标方程方程的应用、曲线的交点、参数方程化为普通房方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．