Question

5．定义max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≥b}\\{b，a-b}\end{array}\right.$，若实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$，则max{|2x+1|，|x-2y+5|}的最小值为2．

Answer 1

分析 分析可得当x，y满足①当-$\frac{1}{2}$≤x≤1，-1≤y≤1时，②当-1≤x＜-$\frac{1}{2}$，-1≤y≤1时，从而化简max{|2x+1|，|x-2y+5|}=5+x-2y，作出可行域，平移直线l₀：x-2y=0，从而求最小值．

解答 解：实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$时，
可得①当-$\frac{1}{2}$≤x≤1，-1≤y≤1时，
0≤2x+1≤3，$\frac{5}{2}$≤x-2y+5≤8，
则max{|2x+1|，|x-2y+5|}=max{2x+1，x-2y+5}，
由x-2y+5-（2x+1）=-x-2y+4∈[1，$\frac{11}{2}$]，
即有max{|2x+1|，|x-2y+5|}=x-2y+5；
②当-1≤x＜-$\frac{1}{2}$，-1≤y≤1时，
-1≤2x+1＜0，2≤x-2y+5≤$\frac{13}{2}$，
显然|2x+1|＜|x-2y+5|，
即有max{|2x+1|，|x-2y+5|}=x-2y+5．
综上可得max{|2x+1|，|x-2y+5|}=5+x-2y，
作出x，y满足的可行域，如图．
画出直线l₀：x-2y=0，
平移l₀，当经过点（-1，1）时，取得最小值．
故当x=-1，y=1时，
5+x-2y有最小值2，
故答案为：2．

点评 本题考查了分段函数，绝对值函数及分类讨论和数形结合的思想应用，考查运算能力，属于中档题．