Question

15．已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x²+y²+4y-21=0所截得的弦长为8，则直线l的方程为4x+3y+21=0或x=-3．

Answer 1

分析 求出圆x²+y²+4y-21=0的圆心、半径，当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=-3，成立；当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x+3）-3，求出圆心（0，-2）到直线y=k（x+3）-3的距离，由过点M（-3，-3）的直线l被圆x²+y²+4y-21=0所截得的弦长为8，利用勾股定理能求出直线l的方程．

解答 解：圆x²+y²+4y-21=0的圆心为（0，-2），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+84}$=5，
当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=-3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+4y-21=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴直线l：x=-3被圆x²+y²+4y-21=0所截得的弦长为8，成立；
当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x+3）-3，
圆心（0，-2）到直线y=k（x+3）-3的距离d=$\frac{|0+2+3k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|3k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵过点M（-3，-3）的直线l被圆x²+y²+4y-21=0所截得的弦长为8，
∴由勾股定理得：${r}^{2}={d}^{2}+（\frac{8}{2}）^{2}$，
即25=$\frac{（3k-1）^{2}}{{k}^{2}+1}$+16，解得k=-$\frac{4}{3}$，
∴直线l：$y=-\frac{4}{3}（x+3）-3$，整理，得：4x+3y+21=0．
综上直线l的方程为：4x+3y+21=0或x=-3．
故答案为：4x+3y+21=0或x=-3．

点评 本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．