Question

7．已知过点（2，4）的直线l被圆C：x²+y²-2x-4y-5=0截得的弦长为6，则直线l的方程为x-2=0或3x-4y+10=0．

Answer 1

分析 设过点（2，4）的直线l的方程为y=k（x-2）+4，求出圆C的圆心C（1，2），半径r=$\sqrt{10}$，圆心C（1，2）到直线l的距离d，由此能求出直线l的方程；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2也满足条件．由此能求出直线l的方程．

解答 解：设过点（2，4）的直线l的方程为y=k（x-2）+4，
圆C：x²+y²-2x-4y-5=0的圆心C（1，2），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+16+20}$=$\sqrt{10}$，
圆心C（1，2）到直线l的距离d=$\frac{|k-2-2k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵过点（2，4）的直线l被圆C：x²+y²-2x-4y-5=0截得的弦长为6，
∴由勾股定理得：${r}^{2}={d}^{2}+（\frac{6}{2}）^{2}$，即$10=\frac{（2-k）^{2}}{{k}^{2}+1}+9$，
解得k=$\frac{3}{4}$，∴直线l的方程为y=$\frac{3}{4}$（x-2）+4，即3x-4y+10=0，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，
圆心C（1，2）到直线x=2的距离d=1，
满足${r}^{2}={d}^{2}+（\frac{6}{2}）^{2}$，故x-2=0是直线l的方程．
综上，直线l的方程为x-2=0或3x-4y+10=0．
故答案为：x-2=0或3x-4y+10=0．

点评 本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．